Công thức tính định thức cấp 3

1. Phần bù đại số

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc ấy $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ cùng với $M_ij$ là định thức nhận thấy từ định thức của ma trận $A$ bằng cách bỏ đi chiếc $i$ và cột $j$ được hotline là phần bù đại số của thành phần $a_ij.$

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$

Tính những phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$

Giải.You watching: Tính định thức ma trận cấp 3Ta có:

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Công thức khai triển Laplace

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc đó

$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$

đây là phương pháp khai triển định thức ma trận $A$ theo loại thứ $i.$

$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$

đây là công thức khai triển định thức ma trận $A$ theo cùng thứ $j.$

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo phương pháp khai triển mẫu 1.

Bạn đang xem: Công thức tính định thức cấp 3

Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong những số ấy

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$

Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cái 3 của định thức gồm 2 phần tử bằng 0 nên khai triển theo mẫu này đã chỉ có hai số hạng

Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cột 1 bao gồm 3 thành phần bằng 0 buộc phải khai triển theo cột 1 ta có

Ví dụ 4: Tính định thức

Giải. Để ý cột 3 có thành phần đầu tiên là 1, vậy ta sẽ chuyển đổi sơ cung cấp cho định thức theo cột 3


*

Ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$

Giải.

*

Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng những phần bù đại số của các phần tử thuộc loại 4 của ma trận $A.$

Giải. Thay các phần tử ở cái 4 của ma trận A vì chưng $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ bao gồm định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau cùng hai ma trận $A,B$ có những phần bù đại số của các bộ phận dòng 4 giống như nhau.

Xem thêm: Xem Phim Cô Trợ Lý Của Anh Full Hd Thuyết Minh Vietsub, Phim Chị Trợ Lý Của Anh Full Bản Đẹp

Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$

Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$

Giải. Thay các thành phần ở dòng 4 của ma trận A lần lượt vày $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ có định thức bởi 0 vì gồm hai loại giống nhau cùng hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các thành phần dòng 4 tương tự nhau

Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$

Ví dụ 8: Cho D là 1 trong những định thức cấp cho n có tất cả các phần tử của một dòng thứ i bằng 1. Minh chứng rằng:

Tổng các phần bù đại số của các bộ phận thuộc mỗi chiếc khác dòng thứ i đều bởi 0.Định thức D bằng tổng phần bù đại số của tất cả các bộ phận của nó.See more: review Sách khi Lỗi thuộc Về Những do Sao, khi Lỗi thuộc Về Những vì chưng Sao

Ví dụ 9: Tính định thức $left| eginarray*20c - 2&5&0& - 1&3\ 1&0&3&7& - 2\ 3& - 1&0&5& - 5\ 2&6& - 4&1&2\ 0& - 3& - 1&2&3 endarray ight|.$

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c 1& - 2&3&2& - 5\ 2&1&2& - 1&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0& - 3 endarray ight|.$

3. Định thức của ma trận tam giác

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các bộ phận nằm bên trên đường chéo cánh chính

Thật vậy, so với ma trận tam giác trên triển khai theo cột 1 có:


*

đối với ma trận tam giác bên dưới khai triển theo dòng 1.

4. Tính định thức dựa trên các đặc thù định thức, cách làm khai triển Laplace và đổi khác về ma trận tam giác

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + công nhân + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$

Hiện tại tutuhelperapps.com tạo ra 2 khoá học Toán cao cấp 1 cùng Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành kinh tế của toàn bộ các trường:

Khoá học cung ứng đầy đủ kỹ năng và phương thức giải bài bác tập những dạng toán đi kèm mỗi bài bác học. Hệ thống bài tập tập luyện dạng từ bỏ luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc hẳn rằng kiến thức. Phương châm của khoá học góp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong những trường khiếp tế.See more: A Rate Equation For Ca(Oh)2 và Co2 Reaction In A Spouted Bed Reactor At Low Gas Concentrations

Sinh viên những trường ĐH sau đây có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH nước ngoài Thương

- ĐH yêu thương Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH non sông Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH khác trên mọi cả nước...